趣书网

手机浏览器扫描二维码访问

第六百零二章 齐默猜想（高维空间，对称性）（第1页）

罗伯特·齐默(Robert Zimme)证明了低维度空间的一些对称性质不存在。

2017年，一个三位数学家组成的团队解决了名为齐默猜想的问题，这个问题主要是研究在某些情形下几何空间会显示出某种特定的对称性。他们的证明是近几年来最大的数学成就之一。这个问题是齐默在20世纪70年代后期到20世纪80年代前期学术活跃期间提出的，现如今这个问题得到了解决。

一般而言，我们通常认为几何空间的维度越多，对称性特征也就越多。比如，你可以去比较二维平面上的圆和三维空间中的球：旋转球的方法就比旋转圆的方法要多得多。这就是因为球的额外维度使得球有了更多的对称性。

齐默猜想关注点主要是在某种特定类型的对称性，这通常被称之为高阶格(higher-rank lattice)。这个猜想关注了以下问题：一个几何空间的维度是否会限制对这些类型对称性产生。

芝加哥大学的阿伦·布朗教授(Aaron Brown)。

赛巴斯提安·乌尔塔多·萨拉查教授(Sebastian Hurtado-Salazar)。

印第安纳大学的大卫·费希尔教授(David Fisher)的最新研究表明，只要低于某一维度，某些特殊的对称性就不可能存在。

这也就证明了齐默猜想是正确的。

对称性是人们从孩提时期的数学中便接触到的几何学概念。通过动手分析，孩子们便知道由于对称性，图形可以旋转、翻转和平移，最后得到的图形和最开始是一致的。图形的这种在变化中保持不变的特性满足了某种内在特点——它揭示了宇宙法则中的某种深刻涵义。

在数学中，数学家们用自己特定的规范性语言来研究对称性。这种语言为他们提供了非常准确的方法来描述在给定的几何空间中所有不同的对称性。

比如说，正方形有八个对称变换——也就是说有八种方法可以将正方形翻转、旋转成原来的图形。而对于圆来说，圆按任意角度旋转之后仍然是圆；它有无数个对称变换。数学家把特定几何对象或空间所具有的对称性全部归类在一起，称之为“群”。

群原本就是非常有价值的研究对象。群通常会出现在特定几何空间的研究中，但是他们也会出现在非几何领域中。比如，数的集合也可以组成群。（比如说：考虑如下的对称性，例如给一个数+5或-5。）

齐默说：“理论上，各类事物的对称性都可以用群来表达。”

现在我们讨论的对称性和我们在小学时所学到的相差甚远。比如，参考格的对称性。最简单的格就是一个二维网格。在平面上，你可以将这块网格往上、下、左、右的方向平移任意方块的距离，然后得到一个它完全一样大小的网格。你还可以对网格内任何单独的正方形进行对称变换。这种有类似格的空间，一般而言会有无穷个多种多样的对称变换。

这种可以存在任何维度的空间里。在三维空间里，格就是一个个正方体，而不是正方形。在四维或更高维度的空间里，我们就无法画出这种格了，但是性质是一样的。数学家可以用自己的语言进行准确描述。齐默猜想的关注对象主要就是这些特定维度的。“如果你可以看到这些网格，这些奇怪的格会特别美丽。尽管我看不到。”乌尔塔多-萨拉查教授说，“我猜想如果它们能展现在我们眼前，他们的形状一定特别好看。”

齐默说：“由于在高维度的情况下，你由此得到的群会愈发复杂，问题的解决也就变得更加困难。”

当我们分析对称性的时候，我们所想象到的是，整个图形正在进行旋转，就像一个正方形按顺时针方向转90°。在一个比较微观的层级中去观察，对称性与点的运动有密切的联系。按对称性将空间进行变换意味着将空间上的每一个点移动到空间的另外一处。在这种视角下，将正方形顺时针旋转90°的真正意义是：考虑正方形上的每一个点，然后将它顺时针旋转90°，这样每个点就移动到了新的边上，这些点最终出现在与初始位置不同的边上。