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第六百一十章 埃尔德什－格雷厄姆问题（数论）（第1页）

公元前1650年左右的古埃及数学典籍《莱因德数学纸草书》，其中记录了古埃及人如何将有理数表示为单位分数之和。

这里有{2，3，7，12，15，18，21，29，32，36} 10个数字组成的一个数集，我们可以选择其中的2、3、12、18、36，就能得到1/2+1/3+1/12+1/18+1/36=1。

单位分数就是分子是1的分数，或者也可以说是正整数的倒数，它们是当时古埃及数字系统中唯一一类分数，他们需要用单位分数来表示其他更复杂的分数，比如将3/4写作1/2和1/4的和。

到了20世纪70年代，有关这类分数的问题再次引起了一些数学家的兴趣。当时，数学家埃尔德什（Paul Erd?s）和格雷厄姆（Ronald Graham）在探索想要设计出不满足条件的整数集有多难，也就是说，一个整数集中不能有任何子集，其倒数之和等于1。

如果A是N的子集，A具有正密度，那么存在有限的S是A的子集，使得其中数的倒数和为1。在此，数集A是自然数集的子集，无论你怎么数下去，都存在一种非零的概率，会遇到集合A中的一个数字，那么A就具有正密度。

猜想提出约半个世纪后，牛津大学数学家Thomas Bloom证明了它。

举个简单的例子，A是一个包含所有大于1的奇数的集合，它属于自然数集的子集，并满足正密度的条件，因为无论你数到10亿还是100亿，也一定会遇到奇数。然后，我们可以在A中找到有限子集S ={3，5，7，9，11，33，35，45，55，77，105}，而所有这些数的倒数相加恰好等于1。

这理解起来并没有那么困难，但证明它显然就变成另一回事了。那就变成了一个大得多、复杂得多的问题。对不少数学家来说，似乎找不到什么显而易见的数学工具来解决它。

数学家Ernie Croot，他解决了所谓的埃尔德什-格雷厄姆问题的着色版本。

这是一种更弱的证明。可以这么理解，在着色版本中，整数被随机地分类，指定放到不同颜色的桶中。猜想预测，无论这种分类中用到了多少个桶，至少会有一个桶包含一个倒数之和等于1的整数子集。

Croot这篇发表于2003年的论文引入了来自调和分析的强大的新方法，那是一个与微积分密切相关的数学分支。

着色版本和密度版本非常相似，但它们在一个非常重要的方面却有所不同。在着色问题中，整个数集A被分成了不同的“桶”，具体的分割方法并不重要。数学家要证明的是，有一个“桶”里的数字满足条件。这正是Croot在论文里构建的证明，表明了至少会有一个“桶”里包含足够多具有低素因子的数字，用数学术语来说就是光滑数（smooth number），从而满足定理。