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第一百九十九章 李普希茨连续映射（微分几何）（第1页）

李普希茨是德国数学家、物理学家。主要研究数学分析、数论、微分方程、多维几何、力学和物理。

1859年，他发表了关于借助线积分给出贝塞尔函数的渐近展开式的严格研究。

1864年，在研究傅立叶级数收敛性时，给出了以他的姓命名的充分条件。

1876年，他改进了柯西关于常微分方程存在定理的条件。现在这一条件就被称为李普希茨条件。他对n维空间的子空间给出了一些新的结果。

他还是微分不变量研究的创始人之一，在其工作中已出现了共变微分这种运算。

狄利克雷对利普希茨抱有希望，利普希茨听话，而且有才华。

如果让他研究一种重要的细节，肯定是有戏的。

先让利普希茨去研究关于函数映射的问题。

狄利克雷让利普希茨开始研究连续映射的概念。

设X，Y为任意两个集合，映射f：X→Y，对于x0∈X，有y0=f(x0)，如果对于y0的任意邻域U(y0)，总能找到x0的邻域U(x0)，使得f(U(x0))?U(y0)。则称映射f在点x0是连续的。如果映射f在集合X的每一点都是连续的，则称映射f为X上的连续映射。

奥托·赫尔德和普利希茨都开始研究除了三维坐标系的连续性，还有什么样的连续映射？

赫尔德说：“度量空间也是可以连续映射的。”

利普希茨说：“不是三维空间那种勾股定理的距离，而是单个变量的差值，就去代表距离。”

赫尔德说：“想要让它变得合法化，是不是需要弄清它是不是连续映射的？”

利普希茨说：“起码先要符合连续映射的条件，要不然，肯定不能这样用。”

赫尔德说：“因变量的差值，是自变量差值的几次方乘以一个常数。”

利普希茨说：“不需要这样，只要一次方即可。”

后来α次方的赫尔德条件，也被称为α阶的利普希茨条件。

之后，弗雷歇开始在1910年考虑抽象空间的连续映射。

利普希茨连续的几何意义是什么？怎么较好的理解它呢？

以陆地为例。

岛屿：不连续

一般陆地：连续

丘陵：李普希兹连续

悬崖：非李普希兹连续

山包：可导平原：线性

半岛：非凸

想了半天用什么来表达亚连续（semi-continuity），好像只能用瀑布了。稍微具体点的话，李普希兹连续就是说，一块地不仅没有河流什么的玩意儿阻隔，而且这块地上没有特别陡的坡。其中最陡的地方有多陡呢？这就是所谓的李普希兹常数。悬崖的出现导致最陡的地方有“无穷陡”，所以不是李普希兹连续。

利普希茨连续不就是函数上任意两点连线的斜率是有界的吗？也就是斜率不能无穷大。考虑f(x)=sqrt(x)这个函数虽然在(0，+无穷)上一致连续，但是两点间斜率可以无限大，因此不是利普希茨连续。

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