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第二百三十六章 柯西序列（级数）（第1页）

柯西声名远播，很多学生都喜欢去听的课。

一个崇拜柯西的学生问柯西：“数学的用途在哪里？”

柯西对这个问了多次的问题都不再想去回答。

学生也觉得问的没有水平，只得改口说：“物理学的一些模型可以反映数学的本质吗？”

柯西说：“不可以，纯数学的东西，只能依靠抽象的想象，所以没办法让实体的东西反映出来。如果说能，那才是撒谎。”

学生说：“言为之意是数学无用吗？”

柯西说：“错误，虽然数学不能被实体表现出来。但是很多实际的东西的原理却暗含着重要的数学，被数学的框架所支撑。”

学生说：“如此矛盾如何理解？”

柯西说：“优秀的数学家就可以提取出实体中真正属于数学的东西，而不会让实体去可以表现出数学的抽象模型。数学家可以有建立重要模型的能了，而不是费力的去学习，或者抓不住问题的重点。”

在数学中，一个柯西序列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。

一组数列由许多元素组成，每个元素都有一个唯一的序号。柯西序列是这样一组数列，它的元素随着序号增加而接近。

给定一个数列，如何判断它是否是柯西序列？方法是先去掉N个元素（N是有限的数），再看剩下的元素有没有这样一种规律：任何两个元素之差不大于任意指定的正数。

这种序列有无穷多个元素，我们可以举一个具体的例子。比如一个序列：{X1，X2，X3，X4…}，其中X1=1，Xn+1=(Xn+2/Xn)/2。这个序列其实是：{1，3/2，17/12…}。可以证明这个数列最后收敛到一个无理数：根号2。既然它收敛于某个具体的数（根号2），那么当我们去掉有限个数之后，剩下的数都无穷接近于根号2，当然任何两个元素之差不大于任意正数，于是能确定这是柯西序列。

我们可知，柯西序列的定义有赖于如何定义距离。在上述例子里，我们把两个数之差定义为它们的距离，当然距离还有其他的定义方法。只有定义了距离，柯西序列才有意义。换句话说，只有在度量空间中柯西序列才有意义。

柯西序列的重要作用是定义“完备空间”。完备空间是指一种度量空间，它的所有柯西序列（如果有的话），都收敛在这个空间自己里面。有一种直观的形容方法就是完备空间“没有孔”（内部不缺点），“不缺皮”（边界不缺点）。完备空间在数学分析里面有重大作用。

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