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第二百六十八章 超几何函数（反常函数）（第1页）

一般的函数，可以用坐标表示出图形，显而易见。

而有些数学，就像带奇点的二阶常微分方程。

欧拉在解二阶常微分方程上，研究出了很多反常的东西，尤其是这种带奇点的。

欧拉找到了一种形式，后来还找到了解法。

欧拉认为初等代数都可以由多项式或不等式来表示，而数学问题是不是都是有初等代数问题可以表示的，还在疑惑当中。

高斯突然想到，除了多项式以外，还要有包含除法的一种多项式，这就不仅仅是像多项式那么简单了。这个带了除法，且里面还带有各种系数的多项式就是一种超几何函数了。

高斯也沿着欧拉的轨迹向下走的，是n趋近无穷时2F1(a，b;c;z)=Σa(n)b(n)/c(n)*z^n/n!这样的方程，其中的a(n)=a(a+1)……(a+n-1)这样的阶乘函数。

在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a，b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。

波赫哈默尔对Kummer说：“这个函数中的z绝对值小于1。”

Kummer说：“这个函数能干什么用？”

波赫哈默尔说：“很多函数都可以用这个方程表示。”

波赫哈默尔然后开始写出以下表示，作为例子。

ln(1+z)=z2F1(1，1;2;-z)

(1-z)^-a=2F1(a，1;1;z)

arcsinz=z2F1(1/2，1/2;3/2;z^2)

Kummer说：“我刚刚找到了b求无穷大的情形，名字叫合流超几何函数。贝塞尔柱函数也可以由此函数表示出来。”

Kummer写出合流超几何函数，形式为M(a，c，z)=lim2F1(a，b;c;b^-1z)。

波赫哈默尔满意的点点头。

勒让德函数，雅克比多项式，切比雪夫多项式，Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示。所有具有三个正则奇点的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。

其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式，Meixner多项式，Meixner–Pollaczek多项式。

超几何函数有Pfaff变换和Euler变换，都是分式线性变换的例子，跟莫比乌斯变换有关系。

除此以外还有广义超几何函数，这是超几何函数推广，就是这个式子关于p(n)的项变得很多了

那么超几何函数显而易见离初等代数不远，但是能不能纳入初等代数中？这在图形的本质上，就变成了初等代数是否包含奇点？如果奇点太多，那指定不能看做是初等代数问题，但奇点在有限个甚至很少的时候，是不是就可以看做初等代数问题。

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