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第三百三十一章 李代数（群论）（第1页）

索菲斯·李意识到矩阵计算的内在复杂性，这是因为行列式那种奇怪的计算性质导致的。还有，就是对矩阵这个含义的理解，本身也有很多层次的内在复杂性。

其中就有非对易性，这是最重要也难以避免的一个性质。

由于矩阵计算的特殊性，和矩阵本身含义的深邃性，他发现了一种关于矩阵计算的特殊代数。

只是，想着有些复杂，也许有用，还是更加深的用途。

所以对其解释，需要专门引入一个严谨的说法，肯定是有关矩阵一类的。

李与克莱因开始讨论关于矩阵计算的一些问题：“我想研究一种代数，就是那种不符合交换律的那种。”

克莱因说：“我知道，矩阵绝大部分都不符合。”

李说：“也不符合结合律。”

克莱因说：“这个有意思了，细细想想，其实矩阵不符合结合律。我们应该建立一种新型代数了，名字就叫非结合代数。”

李说：“非结合代数是很宽泛的，我知道的非结合的代数，是通过矩阵的性质得来的。但是，我总觉得，不仅仅限于矩阵是这样的，就是其他那些我还不知道的其他数学结构，也会有这个。”

克莱因在想：如果是超出矩阵的其他代数，也是可以表示非结合代数的，也不无可能。但是还有一种可能性，那就是任何代数都弄用矩阵来表示，就看会不会表示。

克莱因说：“到了现在，如果想要在数学上有突破。我们要在新的数学领域大展拳脚，只需要去规范一些极其简单的数学法则，如果规划好那些看似简单的法则后，我们就可以以此为基础去扩张自己的优美而繁华的版图了。”

李说：“我们的梦。只是这个非结合代数，给人一种在思考上很别扭的感觉。又需要依赖有些难度但很重要的群论的结构。”

克莱因说：“我们已经离不开群了，那些不爱学习群论的人，不要再碰数学。”

李说：“非结合代数是环论里的一个分支，虽与结合代数有关，但是去掉了乘法结合律。这个东西难免存在，毕竟数学是广泛到人类不会轻易政府的程度。发现了非交换的，那离非结合的还远吗？”

克莱因笑得肚子都疼了，对李说：“你要是用这种变态的思维研究数学，说不定整合上帝创造万物的脾气。就是想这个模型不好想。”

后来，索菲斯·李创立李群。

若尔当是研究矩阵的专家，对矩阵的研究也规范到丧心病狂的程度，当然与李代数的很多非结合代数思维不谋而合了。

若尔当说：“李代数，你规范好了吗？”

李说：“很多概念，有子代数、理想、正规群等等。”

若尔当突然说：“在你心中，有些看似等于0的东西，并不见得真的是0吧。”

李知道若尔当说的是那些基的矩阵表示，用行列式直接解，那就等于零。

李说：“或许这个代数的神秘之处恰恰在此，我的矩阵的斜对角化简完后，是都等于0的，按理说就是0了吧。但是这些东西相互做一些计算，那也能算出很多花样来，而且你也不能说那就不对吧。”

若尔当笑道：“矩阵里只要有一个东西不为零，那就不是严格的零，对不对吧，你就是这个意思吧。你心里早就这么想了吧。”

李说：“没错，我就是这个意思了，我摊牌了。”

若尔当说：“大胆，你这个神经病，那都是虚妄的，行列式算出来是0的，那就是0.你居然闲的无聊说它们不是0.还有拿它们计算。你对数学不负责任，你是在玩耍。”

李说：“你敢对上帝发誓吗？矩阵里只有一个地方不是0，你必须按0来算？”

若尔当笑道：“跟你开玩笑呢，我太支持你了，你的非结合代数当然以此为根基。我要给你点赞。”

最初是由19世纪挪威数学家，经过一个世纪，特别是19世纪末和20世纪的前叶，由于威廉·基灵、嘉当、外尔等人卓有成效的工作，李代数本身的理论才得到完善，并且有了很大的发展。

李代数是挪威数学家索菲斯·李在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群的研究密切相关。

在更早些时候，它曾以含蓄的形式出现在力学中，其先决条件是“无穷小变换”概念，这至少可追溯到微积分的发端时代。

可用李代数语言表述的最早事实之一是关于哈密顿方程的积分问题。

李是从探讨具有r个参数的有限单群的结构开始的，并发现李代数的四种主要类型。

法国数学家嘉当在1894年的论文中给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个完全分类。

他和德国数学家基灵都发现，全部单李代数分成4个类型和5个例外代数，嘉当还构造出这些例外代数。

嘉当和德国数学家外尔还用表示论来研究李代数，后者得到一个关键性的结果。

到20世纪80年代，李代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具，它还是有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源。

李代数的理论不断得到完善和发展，其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域。

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