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第五百零四章 柯尔莫哥洛夫－阿诺德表示定理（拓扑学）（第1页）

阿诺德的研究领域遍及可积系统、代数、代数几何、微分方程、拓扑、灾变理论、奇性理论、辛几何、经典力学和流体力学，等等。

辛拓扑(sympletictopology)明确是阿诺德开创的领域，它来自辛几何(sympleticgeometry)，再往前追溯应该是来自哈密顿正则方程。

就研究风格来说，阿诺德确实和哈密顿是一路的。

一般大学课程意义上的经典力学，能顺着牛顿力学-拉格朗日力学-哈密顿力学把个概念脉络说清楚，那就烧高香了。

阿诺德的深度，自然不会满足于泛泛的概念介绍。

都知道拉格朗日力学始于约束体系的研究，谈约束怎可不讨论约束条件相应的几何问题，你看阿诺德的书就会给你讲流形上的拉格朗日力学。

等到进入哈密顿力学，微分形式、外微分自然是必用的语言(其实，这也是热力学必用的语言！)。

既然都来到了哈密顿力学领域，盯着哈密顿正则方程焉能没有研究的冲动，于是人家阿诺德顺着辛几何一路下去发展出了辛拓扑这一崭新数学物理领域。

数学是实验不花钱的那部分物理

Jacobi注意到，一个数可表示为四个平方数之和与单摆的运动是由同一个函数所支配的。

20世纪把数学和物理分成两个学科，这是灾难性的。

一代数学家在不知道科学那一半的情况下成长起来，然后把丑陋的经院赝数学教给学生们。

从来没有也永远不会有什么应用科学，只有科学的应用！

真正的数学家不需要拉帮结伙，脑子不够使的才拉帮结伙以便混吃等死。他们能以任何理由结伙，但是本质上就是解决一个社会学问题—在有点儿文化的环境中赖活着。

阿诺德对柯尔莫哥洛夫说：“我研究了哈密顿的辛几何。他所刻画的随时间变化的物理过程可以等价为相空间的几何变换。”

柯尔莫哥洛夫说：“相空间也是一种坐标系。常规坐标系有x，y，z坐标轴，而相空间在常规坐标轴基础再增加坐标轴或动量轴。质点在初始时刻的位置和速度就对应相空间中一个广义的“点”。我们用这个广义点来表示物理的一些状态。”

阿诺德说：“所有感兴趣的点在相空间里组成一个高维块体。随着时间变化，这个块体会像面团一样变化，所以就把这个块体叫流形。”这里常规是三维块体，二维区域。

柯尔莫哥洛夫说：“上述流形肯定是千奇百怪的，其中符合外尔心目的symplectic的，就叫做symplecticmanifold，中文就翻译为辛流形。辛流形像面团一样被揉来揉去就叫辛拓扑，标准叫法是symplectictopology，而symplecticgroup就叫辛群了。”

阿诺德说：“之所以symplectic在经典力学和理论物理研究中时髦起来，是因为对保守系统，也就是没有耗散的系统，辛流形的广义体积不随时间变化。”

柯尔莫哥洛夫说：“很多时候，被研究系统的微分方程太复杂，以至于寻找封闭的精确解已不可能的。”

阿诺德说：“需要借助于计算机求数值解。求数值解需要把微分方程近似为代数方程的迭代。近似方法有多种，如形形色色的差分法，各种格式的龙格库塔法等等。”

柯尔莫哥洛夫说：“近似方法在每一个迭代步内有误差，所造成的误差还可能会在下一步迭代中被放大。或者换个名词，这相当于计算带来了虚假的计算阻尼。如果这种阻尼是“正”的还好，误差不会累积暴增。如果一不小心，迭代格式所造成的阻尼是“负”的，那么近似计算出来的系统能量会越来越大，计算结果就会发散，这时根本谈不上精度了。”

阿诺德说：“如果在构造近似格式时，首先约束格式要保证辛流形的体积不随迭代而变化，那么计算出来的“系统能量”就不会无限增大。不管精度如何，这至少数值结果不会发散了！因为保守系统运用的广泛性和计算机分析的流行性，所以对能保正辛流形体积不变的迭代格式就特别受到计算科学家的重视。”

阿诺德说：“目前对微观世界的理论物理和日月星辰的天文学，几乎都不强调能量损耗或认为就根本不存在，而且其运行的时间尺度很大，所以若不用保辛格式，则很难得到长时间的行为。”

柯尔莫哥洛夫说：“但是就很多工程问题，对耗散和摩擦都不能掩耳盗铃，所以辛算法是否还那么霸气呢？”

阿诺德说：“辛算法主要针对的是保守系统，比如天体力学，电磁场中的粒子，薛定谔方程等等。工程上用的要少些，实际上工程中还常常要加入人为耗散来抹掉噪声误差。

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