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第五百九十五章 陈省身示性数（曲面几何）（第1页）

大数学家陈省身有一次在BJ大学的讲座中语惊四座：“人们常说三角形内角和等于180°，这是不对的。”大家愕然，三角形内角和是180°，这不是数学常识吗?接着陈省身做了精辟的解答：说“三角形内角和为180°”不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应当说“三角形外角和是360°”。

把眼光盯住内角，只能看到三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°……如果看外角呢，三角形的外角和是360°，四边形的外角和是360°，五边形的外角和是360°……任意n边形外角和都是360°。这样就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来了，一个与边无关的常数代替了与边有关的公式，找到了更一般的规律。

大家看清题目了，是问凹四边形的外角和是多少?

凹四边形有一个角为凹角，即180-360度，另外三个是凸角，即0-180度.

假设凹四边形ABCD，角C为凹角，连接BD，则其内角和为∠A+∠B+∠D+360-∠BCD=∠A+∠B+∠D+（180-∠BCD）+180=∠A+（∠ABC+∠CBD）+（∠ADC+∠BDC）+180=∠A+∠B+∠D+180=180+180=360度，又内外角之和为180*4=720，所以凹四边形外角和是720-360=360度.

任意一个凸（或凹）n多边形，都可分画为n-2个三角形，因此凹多边形的内角和，也适用（N-2）180°这个公式。理由是：（1）先把凹多边形画分成n-2个三角形（2）每个三角形的内角和为180°，所以凹多边形内角和为（n-2)×180°凹多边形的外角和并不恒等于360°凹多边形外角和是：360°n-(n-2)×180°=180°n+360°这就是凹多边形内角和与外角和及边的关系。

五边形的外角和都是360°，任何一个多边形的外角和都是固定值，为360°。五边形在平面几何学上指所有由五条边围衬成及有五只角的多边形。完美五边形和正五边形都是五边形的一种特殊类型。正五边形，是正多边形的一种，有将正五边形的对角线连起来，可以造成一个五角星。组成的图形里可以找到一些和黄金分割（φ=(√5-1)/2）有关的长度。

“多边形外角和等于360°”这条普遍规律把几何学引入了新的天地，由此发展出来的“陈氏类”理论被誉为划时代的贡献，在理论物理学上有重要的应用。

颠覆了日常的认知，将人类的思考带入到一个新的天地，这便是数学家的眼光。这种眼光是怎样的，张景中有一个概括：“数学家的眼光是抽象的，我们觉得不同的问题，他们看来却是相同的。数学家的眼光是精确的、严密的，我们觉得一样的东西，他们看来却有天地之别。数学家的眼光是透彻的、犀利的，我们觉得很满足的数学结论他们却穷追不舍。数学家的眼光是辩证的，我们觉得一是一、二是二，他们却常常盯住变中不变的东西，不变中变的东西。”

继续去想，发现在非欧几何下，任意多边形的外角和就不是360度了，不论是多少度，反正可以去度量曲面的弯曲程度。

用什么去度量曲面呢？当然是矩阵了，矩阵就要直接反应曲面的弯曲程度了。

那么这个矩阵就要具备反应曲面外角和大小的能力，跟已知其他度量曲线的能力一般。

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