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第六百八十六章 汉明码（纠错码）（第1页）

信号在传输的过程中会不可避免的发生错误，而纠错码就可以发现和改正这个错误。

1948年，香农在《通信的数学理论》中信道编码定理指出：只要采用适当的纠错码，就可以在多类信道撒谎能够传输消息，误码率可以很小。

1950年，汉明发现了可以纠正一个独立错误的线性分组码。

格雷给粗一种可以纠正三个错误的完备码。

海明码（HammingCode）是一个可以有多个校验位，具有检测并纠正一位错误代码的纠错码，所以它也仅用于信道特性比较好的环境中，如以太局域网中，因为如果信道特性不好的情况下，出现的错误通常不是一位。

海明码的检错、纠错基本思想是将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位进行奇偶性测试，然后产生多位检测信息，并从中得出具体的出错位置，最后通过对错误位取反（也是原来是1就变成0，原来是0就变成1）来将其纠正。

要采用海明码纠错，需要按以下步骤来进行：1、计算校验位数；2、确定校验码位置；3、确定校验码；4、实现校验和纠错

1.计算校验位数

要使用海明码纠错，首先就要确定发送的数据所需要要的校验码（也就是“海明码”）位数（也称“校验码长度”）。它是这样的规定的：假设用N表示添加了校验码位后整个信息的二进制位数，用K代表其中有效信息位数，r表示添加的校验码位，它们之间的关系应满足：N=K＋r≤2r－1

如K=5，则要求2r?r≥5+1=6，根据计算可以得知r的最小值为4，也就是要校验5位信息码，则要插入4位校验码。如果信息码是8位，则要求2r?r≥8+1=9，根据计算可以得知r的最小值也为4。

信息码位数与校验码位数之间的关系

信息码位数分别为1、2~4、5~11、12~26、27~57、58~120、121~247的时候，则校验码位数分别为2、3、4、5、6、7、8。

2．确定校验码位置

上一步我们确定了对应信息中要插入的校验码位数，但这还不够，因为这些校验码不是直接附加在信息码的前面、后面或中间的，而是分开插入到不同的位置。但不用担心，校验码的位置很容易确定的，那就是校验码必须是在2^n的位置，如第1、2、4、8、16、32，……位（对应20、21、22、23、24、25，……，是从最左边的位数起的），这样一来就知道了信息码的分布位置，也就是非2^n位置，如第3、5、6、7、9、10、11、12、13，……位（是从最左边的位数起的）。

举一个例子，假设现有一个8位信息码，即b1、b2、b3、b4、b5、b6、b7、b8，它需要插入4位校验码，即p1、p2、p3、p4，也就是整个经过编码后的数据码（称之为“码字”）共有12位。根据以上介绍的校验码位置分布规则可以得出，这12位编码后的数据就是p1、p2、b1、p3、b2、b3、b4、p4、b5、b6、b7、b8。

现假设原来的8位信息码为，因现在还没有求出各位校验码值，现在这些校验码位都用“？”表示，最终的码字为：？？1？001？1101。

3.确定校验码

这些校验码的值不是随意的，每个校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性（最终要根据是采用奇校验，还是偶校验来确定），其所在位置决定了要校验的比特位序列。总的原则是：第i位校验码从当前位开始，每次连续校验2^(n-1)位后再跳过i位，然后再连续校验2^(n-1)位，再跳过2^(n-1)位，以此类推。最后根据所采用的是奇校验，还是偶校验即可得出第n位校验码的值。

4.校验与纠错

把以上这些校验码所校验的位分成对应的组，则在接收端的对各校验位再进行逻辑“异或运算”，如果采用的是偶校验，正常情况下均为0。

如果最终发现只是一个校验组中的校验结果不符，则直接可以知道是对应校验组中的校验码在传输过程中出现了差错，因为所有校验码所在的位是只由对应的校验码进行校验；如果发现多组校验结果不正确，则查看这些组中公共校验的数据位（只有数据位才可能被几个校验码进行校验），以最终确定是哪个数据位出了差错（海明码只能检查一位出错）；最后，对所找到的出错数据位取反即可实现纠错。

如计算出的每组的校验结果为p1、p2、p3、p4，均为0则正确，有一个不为0的则出错的位置在p1+10?p2+100?p3+1000?p4的位置处。

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